数学算术中无穷小量的不完备性
假设我们有一组微分之后的结果： \[
a+h \tag{1}
\]
其中\(a\)是实数，\(h\)为无穷小量，则一般情况下我们可以忽略掉h使其变为：
\[
a+h\rightarrow a\tag{2}
\]
- 当我们拿着上述结果\((2)\)交给另一个人去计算： \[
\frac{a-a}{h}\tag{3}
\]
时，\(h\)为无穷小量，第一个\(a\)为前式得到的\(a\)，则上式可以简化为： \[ \frac{a-a}{h}=\frac{0}{h}\rightarrow0\tag{4} \] - 当我们拿着化简之前的结果\((1)\)式交给别人去计算时，\((3)\)式可简化为： \[ \frac{a+h-a}{h}=\frac{h}{h}\rightarrow1\tag{5} \] 显然\((3)\)和\((5)\)式进行着相同的计算，在不同的取值近似下得出了完全不相同的结果，这是无穷小量带来的算术矛盾。需要验证在现实中我们是否经常遇到这种矛盾，这如同一个隐患一样藏在某处。